Question

1．已知圆x²+y²=4的圆心为O，点P是直线l：mx-y-6m+4=0上的点，若该圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，则实数m的取值范围为0≤m≤$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=4，利用圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，进而得出答案．

解答 解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时OP=4．
∵圆上存在点Q使得∠OPQ=30°，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-6m+4|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤4，
∴0≤m≤$\frac{12}{5}$，
故答案为：0≤m≤$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．