题目内容

【题目】在一个圆锥内作一个内接等边圆柱(一个底面在圆锥的底面上,且轴截面是正方形的圆柱),再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱,这样无限的做下去.

1)证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列;

2)已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的,求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)求出第一个等边圆柱的体积,设第个等边圆柱的底面半径为,其外接圆锥的底面半径为,高为,则其体积,进一步求得第个等边圆柱的体积,作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列;

2)由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的可得的关系,则答案可求.

1)证明:如图,

设圆锥的底面半径为,高为,内接等边圆柱的底面半径为

则由三角形相似可得:,可得

其体积

设第个等边圆柱的底面半径为,其外接圆锥的底面半径为,高为

则其体积

再设第个等边圆柱的底面半径为,则其外接圆锥的底面半径为

高为

则第个等边圆柱的体积

为定值,

则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以为首项,以为公比的等比数列;

2)解:原来圆锥的体积为

这些等边圆柱的体积之和为

,得

则最大的等边圆柱的体积为,圆锥的体积为,体积之比为

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