题目内容
【题目】已知函数,记
在点
处的切线为
.
(1)当时,求证:函数
的图像(除切点外)均为切线
的下方;
(2)当时,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求得f(x)的导数,考虑极值点以及函数的凹凸性,即可得证;
(2)讨论a<0,a=0,a>1,a=1,0<a<1时,函数h(x)=f(x)﹣2lnx的导数和单调性,最值,即可得到所求g(x)的最小值.
(1)设切线方程为
记
.
,
,
,
,
在
上单调递减.
,
,
在
上单调递增,
,
,
在
上单调递减.
∴,即
,当且仅当
时取“
”.
故命题成立
(2).
设,
,
1)当时,
,则
在
上单调递减,且
.
∴,
在
上单调递增.
∴
2)当时,
,
设,
,
有两根
,
,
,
,不妨令
,
,
,即
,
在
上单调递减,
,
,即
,
在
上单调递增,
①当,即
,
,
在
上单调递增.
,∴
;
②当,即
时,
,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
,
,
存在使得
,
∴.
综上可得.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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方案一:每满100元减20元;
方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数 | 3 | 2 | 1 | 0 |
实际付款 | 7折 | 8折 | 9折 | 原价 |
(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?