题目内容
【题目】是个循环小数,表示的小数点后第位开始,连续位上的数字之积.证明存在自然数、,对任意的、,均有.
【答案】见解析
【解析】
不妨设为纯循环小数,.,的循环节为.即,,2,….
如果某个,可取,所以还假设,,.
作代换,,则.
以下证明,一定存在自然数,对任意的,均有.
鉴于,证明只需要对来进行.
如果,,…,这个乘积均不大于1,那么,可取.
如果它们之中至少有一个大于1,不妨设是其中最大者,那么,
,,…,.
这是因为,如果其中有一个大于1,那么把它乘到上去,就得到比更大的数,这与指标的选取矛盾.
另外,,,…,.
这是因为,按的取法可知,上述各式左边除去最初个因子,其余各因子之值均不小于.
这样,我们证明了一定存在自然数,对任意的,均有,
即.从而,.
同理可证一定存在自然数,对任意的,有,即.