题目内容

【题目】是个循环小数,表示的小数点后第位开始,连续位上的数字之积.证明存在自然数,对任意的,均有

【答案】见解析

【解析】

不妨设为纯循环小数,的循环节为.即,2,….

如果某个,可取,所以还假设

作代换,则

以下证明,一定存在自然数,对任意的,均有

鉴于,证明只需要对来进行.

如果,…,个乘积均不大于1,那么,可取

如果它们之中至少有一个大于1,不妨设是其中最大者,那么,

,…,

这是因为,如果其中有一个大于1,那么把它乘到上去,就得到比更大的数,这与指标的选取矛盾.

另外,,…,

这是因为,按的取法可知,上述各式左边除去最初个因子,其余各因子之值均不小于

这样,我们证明了一定存在自然数,对任意的,均有

.从而,

同理可证一定存在自然数,对任意的,有,即

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