题目内容
【题目】是个循环小数,
表示
的小数点后第
位开始,连续
位上的数字之积.证明存在自然数
、
,对任意的
、
,均有
.
【答案】见解析
【解析】
不妨设为纯循环小数,
.
,
的循环节为
.即
,
,2,….
如果某个,可取
,所以还假设
,
,
.
作代换,
,则
.
以下证明,一定存在自然数,对任意的
,均有
.
鉴于,证明只需要对
来进行.
如果,
,…,
这
个乘积均不大于1,那么,可取
.
如果它们之中至少有一个大于1,不妨设是其中最大者,那么,
,
,…,
.
这是因为,如果其中有一个大于1,那么把它乘到上去,就得到比
更大的数,这与指标
的选取矛盾.
另外,,
,…,
.
这是因为,按的取法可知,上述各式左边除去最初
个因子,其余各因子之值均不小于
.
这样,我们证明了一定存在自然数,对任意的
,均有
,
即.从而,
.
同理可证一定存在自然数,对任意的
,有
,即
.
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