Question

18．已知正实数x，y满足$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，则xy的最小值等于$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由于正实数x，y满足条$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，用x表示y，构造函数f（x）=xy，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由$\frac{1}{1+2x}$+$\frac{1}{1+3y}$=$\frac{1}{2}$，解得：y=$\frac{2x+3}{3（2x-1）}$＞0，x＞$\frac{1}{2}$，
∴xy=$\frac{x（2x+3）}{3（2x-1）}$=f（x），
∴f′（x）=$\frac{3（2x+1）（2x-3）}{{（6x-3）}^{2}}$，（x＞$\frac{1}{2}$），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x$\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．