题目内容
【题目】如图所示,四棱锥的底面
是矩形,侧面
是正三角形,
,
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若为
中点,求二面角
的大小.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取AB中点H,连结PH,推导出PH⊥AB,由勾股定理得PH⊥HC,从而PH⊥平面ABCD,由此能证明平面PAB⊥平面ABCD.
(2)以H为原点,HA为x轴,在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴,以HP为z轴,建立空间直角坐标系H﹣xyz,利用向量法能求出二面角.
(1)取中点
,连接
,∵
是正三角形,
为
中点,
,
∴,且
.∵
是矩形,
,
,
∴.又∵
,∴
,∴
.
∵,∴
平面
.∵
平面
,∴平面
平面
.
(2)以为原点,HA为x轴,在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴,以HP为z轴,建立建立如图所示的空间之间坐标系
,则
,
,
,
,
,则
,
.设平面
的法向量为
,由
,解得
,即平面
的一个法向量为
.又平面
的一个法向量为
,设二面角
的平面角为
,
∴,又∵
,∴
,
∴二面角的平面角为
.
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