题目内容

【题目】中,,沿中位线DE折起后,点A对应的位置为点P.

1)求证:平面平面DBCE

2)求证:平面平面PCE

3)求直线BP与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】1)证明见解析;(2)证明见解析;(3.

【解析】

1)由直角及中位线可得,,即可证得平面PBD,进而求证;

2)以D为原点,D平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z,建立空间直角坐标系,分别求得平面和平面PCE的法向量,由法向量垂直即可证明两平面垂直;

3)由(2)可得与平面PCE的法向量,利用向量的数量积求解即可.

1)证明:,,

,,

,,

平面PBD,平面PBD,,

平面PBD,

平面DBCE,

平面平面DBCE.

2)证明:D为原点,D平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z,建立空间直角坐标系,如图所示,

,则,

所以,,,,

所以,,,

设平面BPC的法向量,则,即,

,则,所以,

同理,设平面PCE的法向量,则,即,令,则,所以,

因为,所以,

所以平面平面PCE.

3)由(2)知,,平面PCE的法向量为,

所以,

所以直线BP与平面PCE所成角的正弦值为.

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