题目内容
【题目】在中,
,
,沿中位线DE折起后,点A对应的位置为点P,
.
(1)求证:平面平面DBCE;
(2)求证:平面平面PCE;
(3)求直线BP与平面PCE所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)由直角及中位线
可得
,
,即可证得
平面PBD,进而求证;
(2)以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面
和平面PCE的法向量,由法向量垂直即可证明两平面垂直;
(3)由(2)可得与平面PCE的法向量,利用向量的数量积求解即可.
(1)证明:,
,
,
,
,
,
又平面PBD,
平面PBD,
,
平面PBD,
平面DBCE,
平面
平面DBCE.
(2)证明:以D为原点,过D作平面DBCE,DB,DE,DH所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则
,
所以,
,
,
,
所以,
,
,
设平面BPC的法向量,则
,即
,
令,则
,所以
,
同理,设平面PCE的法向量,则
,即
,令
,则
,所以
,
因为,所以
,
所以平面平面PCE.
(3)由(2)知,,平面PCE的法向量为
,
所以,
所以直线BP与平面PCE所成角的正弦值为.

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