Question

某企业为更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了100件产品进行分析，但由于工作人员不小心，丢失了部分数据：
设备改造效果分析列联表

工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η，经计算得：．
（1）填写列联表中缺少的数据；
（2）求出ξ与η的数学期望，并比较大小，请解释你所得出结论的实际意义；
（3）能够以97.5%的把握认为设备改造有效吗？
参考数据：

Answer 1

解：（1）工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，
从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η
∵．
∴，
∴x=10，y=50-10=40，M=20+10=30，N=30+40=70．
（2）由题意知ξ可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）=
∴ξD的分布列是

∴
由题意知η的可能取值是0，1，2
P（η=0）=，
P（η=1）=，
P（η=2）=
∴η的分布列是

∴
∵E（ξ）＜E（η），
∴设备改造是有效的．
（3），
∴不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
分析：（1）工作人员从设备改造前生产的产品中抽取两件，合格品数为ξ，从设备改造后生产的产品中抽取两件，合格品数为η，根据所给的两个变量取0时概率之间的关系，写出关于x的方程，解方程即可，在再根据列联表中数据的关系，得到结果．
（2）根据题意看出两个变量可能取值，ξ可能取值是0，1，2，η的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件写出两组变量的分布列，算出期望，比较两个期望值的大小，得到结论．
（3）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，做出观测值是4.76，同临界值进行比较，4.76＜5.024，得到不能以97.5%的把握认为设备改造有效．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，是一个统计和概率的综合题，本题难易可以作为一个高考题目．