题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）若f'（2）=0，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

解：f′（x）=k+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由f'（2）=0，得k= $\text{[math]}$ ，
函数f（x）= $\text{[math]}$ ，
（Ⅱ）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），
要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需函数f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即，
kx²-2x+k≥0在区间（0，+∞）上恒成立，
即k≥ $\text{[math]}$ 在区间（0，+∞）上恒成立，
令g（x）= $\text{[math]}$ ，x∈（0，+∞），
g（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，当且仅当x=1时取等号，
∴k≥1．
分析：（Ⅰ）根据题意，对f（x）求导，根据f'（2）=0，即可求得k的值，从而求的函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）要使函数f（x）在其定义域内为增函数，只需函数f′（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即，kx²-2x+k≥0在区间（0，+∞）上恒成立，然后利用分离参数法，转化为求函数的最值，即可求得实数k的取值范围．
点评：此题是个中档题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．