题目内容

设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),已知当x∈[0,1]时,f(x)=3x.则
①2是f(x)的周期;
②函数f(x)在(2,3)上是增函数;
③函数f(x)的最大值为1,最小值为0;
④直线x=2是函数f(x)图象的一条对称轴.
其中所有正确命题的序号是
①②④
①②④
分析:①对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),即2是函数的周期;
②利用x∈[0,1]时,函数单调递增,结合周期性,可得结论;
③x∈[0,1]时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1,结合①②可得结论;
④函数f(x)是定义在R上的偶函数,2是函数的周期,可得结论.
解答:解:∵对于任意的x∈R恒有f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x),∴2是函数的周期,即①正确;
设x∈(2,3),则x-2∈(0,1),∵当x∈[0,1]时,f(x)=3x,函数单调递增,2是函数的周期,∴函数f(x)在(2,3)上是增函数,即②正确;
x∈[0,1]时,f(x)=3x,∴x∈[0,1]时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1,结合①②可知,③不正确;
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,2是函数的周期,∴直线x=2是函数f(x)图象的一条对称轴,即④正确.
故答案为①②④.
点评:本题考查函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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