题目内容
如图,椭圆经过点
,其左、右顶点分别是
、
,左、右焦点分别是
、
,
(异于
、
)是椭圆上的动点,连接
交直线
于
、
两点,若
成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段为直径的圆过点
.
(1)(2)见解析
解析试题分析:(1)由椭圆的几何意义知,
,
,由
等比数列知,
,即
,两边同除以
化为关于离心率
的方程,求出离心率;(2)设出P点坐标,利用直线两点式方程写出直线PA,PB方程,通过解PA与
及PB与
方程分别组成的方程组,解出点M,N的坐标,再通过计算向量法
=0,证明
,证明
为直径的圆过点
.
试题解析:(1)由题意可知,成等比数列,所以
(2)由,椭圆经过
点可知,椭圆方程为
设,由题意可知
解得,则
故以线段为直径的圆过点
.
考点:1.椭圆的几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.运算求解能力.
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