Question

（2010•温州一模）已知数列a_n=2n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=1-b_n
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）试写出一个m，使得

1

am+9

是{b_n}中的项．

Answer 1

分析：（I）当n=1时，b1=

1

2

．当n≥2时，由T_n=1-b_n，得bn=

1

2

bn-1．由此能求出bn=(

1

2

)n．
（II）由bn=(

1

2

)n，a_n=2n-1，

1

am+9

是{b_n}中的项，知

1

2m+8

=(

1

2

)n，由此解得m=2ⁿ-4，n≥3，n∈N^*．

解答：解：（I）当n=1时，
∵b₁=T₁=1-b₁，
∴b1=

1

2

．…（2分）
当n≥2时，∵T_n=1-b_n，
∴T_n-1=1-b_n-1，
两式相减得：b_n=b_n-1-b_n，即：bn=

1

2

bn-1．…（7分）
故{b_n}为首项和公比均为

1

2

的等比数列，
∴bn=(

1

2

)n．…（9分）
（II）∵bn=(

1

2

)n，a_n=2n-1，
且

1

am+9

是{b_n}中的项，
∴

1

2m+8

=(

1

2

)n，
∴2m+8=2ⁿ，
解得m=2^n-1-4，n≥4，n∈N^*，
当n=4时，m=4．…（14分）

点评：本题考查数列的递推式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法的合理运用．