题目内容
【题目】如图,已知,
是椭圆
的左右焦点,
为椭圆
的上顶点,点
在椭圆
上,直线
与
轴的交点为
,
为坐标原点,且
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆
交于
,
两点(异于点
),证明:直线
过定点,并求该定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得为
的中位线,从而可得
,故
,且
,然后根据
和
可得
,
,由此可得椭圆的方程.(2)分别设出直线直线
的方程,解方程组可得点
,
的坐标,经分析题意可得定点必在
轴上,不妨设该点坐标
,然后根据直线
的斜率相等建立关于
的等式,结合点
,
的坐标经计算可得定点坐标.
试题解析:
(1)由题意得,
∴为
的中位线,
∴,
∴,
∴,
又,
,
∴,
,
∴椭圆方程为.
(2)设,
,直线
:
,
由 消去y整理得
,
解得或
(舍去).
∴,
以代替上式中的
,可得
.
由题意可得,若直线关于
轴对称后得到直线
,
则得到的直线与
关于
轴对称,
所以若直线经过定点,该定点一定是直线
与
的交点,故该点必在
轴上.
设该点坐标,则有
,
∴
,
将的值代入上式,化简得
,
∴直线经过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
【题目】大型活动即将举行,为了做好接待工作,组委会招募了名男志愿者和
名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有
人和
人喜爱运动,其余人不喜爱运动.
(1)根据以上数据完成以下列联表:
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 总计 | |
男志愿者 | |||
女志愿者 | |||
总计 |
(2)根据列联表判断能否有℅的把握认为性别与喜爱运动有关?
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式: ,其中
)