Question

【题目】已知向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），函数f（x）=（ + ） ．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2 ，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0， ]上的最大值，求A和b．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（sinx，﹣1），向量 =（ cosx，﹣ ），

∴f（x）=（ + ） =sin2x+1+ sinxcosx+ = +1+ sin2x+ = sin2x﹣ cos2x+2=sin（2x﹣ ）+2，

∵ω=2，

∴函数f（x）的最小正周期T= =π

（2）解：由（1）知：f（x）=sin（2x﹣ ）+2，

∵x∈[0， ]，

∴﹣ ≤2x﹣ ≤ ，

∴当2x﹣ = 时，f（x）取得最大值3，此时x= ，

∴由f（A）=3得：A= ，

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴12=b2+16﹣4b，即（b﹣2）2=0，

∴b=2．

【解析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大值求出A的度数，利用余弦定理求出b的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．