题目内容
已知椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：
| OM |
| OP |
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为
+
=1．
（2）设M（2，y0），P（x1，y1），则
=(x1，y1)，
=(2，y0)，直线CM：y=
(x+2)，即y=
x+
y0，代入椭圆方程x2+2y2=4，得(1+
)x2+
x+
-4=0，然后利用根与系数的关系能够推导出
•
为定值．
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．
=(m-2，-y0)，
=(-
，
)，再由
•
=0得-
(m-2)-
=0，由此可知存在Q（0，0）满足条件．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）设M（2，y0），P（x1，y1），则
| OP |
| OM |
| y0 |
| 4 |
| y0 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| y | 2 0 |
| 1 |
| 2 |
| y | 2 0 |
| OM |
| OP |
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．
| MQ |
| DP |
4
| ||
|
| 8y0 | ||
|
| MQ |
| DP |
4
| ||
|
8
| ||
|
解答：解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；
∴椭圆方程为
+
=1（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），
则
=(x1，y1)，
=(2，y0)
直线CM：y=
(x+2)，即y=
x+
y0，代入椭圆方程x2+2y2=4，
得(1+
)x2+
x+
-4=0（6分）
∵x1=-
，∴x1=-
，∴y1=
，∴
=(-
，
)（8分）
∴
•
=-
+
=
=4（定值）（10分）
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）
=(m-2，-y0)，
=(-
，
)（12分）
则由
•
=0得-
(m-2)-
=0，从而得m=0
∴存在Q（0，0）满足条件（14分）
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 2 |
（2）C（-2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），
则
| OP |
| OM |
直线CM：y=
| y0 |
| 4 |
| y0 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
得(1+
| ||
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| y | 2 0 |
| 1 |
| 2 |
| y | 2 0 |
∵x1=-
| 1 |
| 2 |
4(
| ||
|
2(
| ||
|
| 8y0 | ||
|
| OP |
2(
| ||
|
| 8y0 | ||
|
∴
| OP |
| OM |
4(
| ||
|
8
| ||
|
4
| ||
|
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP（11分）
| MQ |
| DP |
4
| ||
|
| 8y0 | ||
|
则由
| MQ |
| DP |
4
| ||
|
8
| ||
|
∴存在Q（0，0）满足条件（14分）
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
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