Question

16．求满足下列条件的数列{a_n}的前n项和S_n
（1）a_n=（2n-1）+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）a_n=（3n+2）•2^-n；
（3）a_n=-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$；
（4）a_n=（3n-2）×（$\frac{1}{4}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）利用分组法求和即可；
（2）利用错位相减法计算即得结论；
（3）利用错位相减法计算即得结论；
（4）利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=（2n-1）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{n[1+（2n-1）]}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=n²+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）∵a_n=（3n+2）•2^-n，
∴S_n=5•$\frac{1}{2}$+8•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+8•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（3n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=5•$\frac{1}{2}$+3（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=5+6（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（3n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=5+6•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n+2}{{2}^{n}}$
=8-$\frac{3n+8}{{2}^{n}}$；
（3）∵a_n=-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=-1-1-3•$\frac{1}{{2}^{2}}$-…-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$-3•$\frac{1}{{2}^{3}}$-…-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=-2-1-$\frac{1}{2}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
=-2-$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$
=-4+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$；
（4）∵a_n=（3n-2）×（$\frac{1}{4}$）ⁿ，
∴S_n=1•$\frac{1}{4}$+4•$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+（3n-2）•$\frac{1}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}$S_n=1•$\frac{1}{{4}^{2}}$+4•$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+（3n-5）•$\frac{1}{{4}^{n}}$+（3n-2）•$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{3}{4}$S_n=$\frac{1}{4}$+3（$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）-（3n-2）•$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}$+4（$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$）-$\frac{4}{3}$（3n-2）•$\frac{1}{{4}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}$+4•$\frac{\frac{1}{{4}^{2}}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{3n-2}{3}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{3n+2}{3}$•$\frac{1}{{4}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．