Question

3．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为2，过点A（4，1）的直线交椭圆于两个不同点M，N，若直线上另一点B满足|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=|$\overrightarrow{AN}$|•|$\overrightarrow{BM}$|．
（Ⅰ）求点B的轨迹方程；
（Ⅱ）若点B的轨迹交椭圆于两个不同点P、Q，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得椭圆方程，设过点A（4，1）的直线为y-1=k（x-4），
代入椭圆方程，运用韦达定理，由|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=|$\overrightarrow{AN}$|•|$\overrightarrow{BM}$|可得$\frac{AM}{AN}$=$\frac{MB}{BN}$=$\frac{{x}_{1}-4}{{x}_{2}-4}$，设B（x，y），由向量的坐标表示，可得x，y关于k的式子，消去k，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）联立B的轨迹方程和椭圆方程，求得交点，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²-1=c²，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
设过点A（4，1）的直线为y-1=k（x-4），
代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8（1-4k）kx+64k²-32k=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
判别式为64（1-4k）²k²-4（1+4k²）（64k²-32k）＞0，
解得0＜k＜$\frac{3}{2}$，
则x₁+x₂=$\frac{8k（4k-1）}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}-32k}{1+4{k}^{2}}$，
由|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=|$\overrightarrow{AN}$|•|$\overrightarrow{BM}$|可得
$\frac{AM}{AN}$=$\frac{MB}{BN}$=$\frac{{x}_{1}-4}{{x}_{2}-4}$，
设B（x，y），即有x=$\frac{{x}_{1}+\frac{{x}_{1}-4}{{x}_{2}-4}•{x}_{2}}{1+\frac{{x}_{1}-4}{{x}_{2}-4}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$
=$\frac{4k}{k+1}$，
y=1+k（x-4）=1-k•$\frac{4}{k+1}$=$\frac{1-3k}{1+k}$，
消去k，可得x+y=1，（0＜x＜$\frac{12}{5}$），
则点B的轨迹方程为x+y=1，（0＜x＜$\frac{12}{5}$）；
（Ⅱ）将x+y=1，（0＜x＜$\frac{12}{5}$）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
可得5x²-8x=0，解得x=0，或x=$\frac{8}{5}$，
即有交点为P（0，1），Q（$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{5}$），
由AP∥x轴，可得Q到AP的距离为d=1+$\frac{3}{5}$=$\frac{8}{5}$，
则△APQ的面积为S=$\frac{1}{2}$|AP|d=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，数轴画的图．