Question

【题目】已知正六边形ABCDEF的边长为2，沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处，使得 ．
（1）求证：平面PAE⊥平面ABCDE；
（2）求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结AC，EC，取AE中点O，连结PO，CO，

由已知得PE=PA=2，AE=AC=EC= = ，

∴PO⊥AE，CO⊥AE，∴∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角，

∴PO= =1，CO= =3，∴PO2+CO2=PC2，

∴PO⊥CO，∴∠POC=90°，∴平面PAE⊥平面ABCDE

（2）证明：解：以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

P（0，0，1），C（0，3，0），B（ ，2，0），D（﹣ ，2，0），

=（ ）， =（0，3，﹣1）， =（﹣ ），

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1， ，3 ），

设平面PCD的法向量 =（a，b，c），

则 ，取b=1，得 =（﹣ ，1，3），

设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连结AC，EC，取AE中点O，连结PO，CO，推导出PO⊥AE，CO⊥AE，则∠POC是二面角P﹣AE﹣C的二面角，求出PO⊥CO，由此能证明平面PAE⊥平面ABCDE．（2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．