Question

【题目】已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣a）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）≥2的解集为R，求实数a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=3时，函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣a）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣3），

∴|x+1|+|x﹣1|﹣3＞0，即|x+1|+|x﹣1|＞3，

∴ ①，或 ②，或 ③．

解①求得x＜﹣ ，解②求得x∈，解③求得x＞ ，

故函数的定义域为{x|x＜﹣ ，或x＞ }

（2）解：若不等式f（x）≥2的解集为R，则f（x）≥2恒成立，

故|x+1|+|x﹣1|﹣a≥4．

∵|x+1|+|x﹣1|≥|x+1﹣（x﹣1）|=2，

∴2﹣a≥4，故有a≤﹣2，

故实数a的最大值为﹣2

【解析】（1）由函数的解析式可得|x+1|+|x﹣1|＞3，把它转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，记得所求．（2）由题意可得f（x）≥2恒成立，即|x+1|+|x﹣1|﹣a≥4 恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x﹣1|的最小值为2，可得 2﹣a≥4，由此求得实数a的最大值．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．