Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=4，sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，则a=2．

Answer 1

分析 由已知结合正弦定理求得A=C，可知△ABC为等腰三角形，把|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=4两边平方得一关系式，再由余弦定理得另一关系式，结合a=c求得a的值．

解答 解：∵$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，
∴$\frac{sinB}{sinA-sinB}=\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，
整理得：sinAsinB=sinAsin2C，
∵sinA≠0，∴sin2C=sinB．
又$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，∴B=π-2C，则B+C=π-C⇒π-A=π-C⇒A=C．
∴△ABC为等腰三角形，
由|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=4，得$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）^{2}=16$，
∴b²+c²+2bccosA=16①，
又sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，∴cosC=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
则${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab×\frac{\sqrt{6}}{4}$②，
∵a=c，
∴由①${b}^{2}+{c}^{2}+2bc×\frac{\sqrt{6}}{4}=16$③，
联立②③可得：a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．