题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,平面
平面
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
为棱
的中点,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)由四边形为矩形,可得
,再由已知结合面面垂直的性质可得
平面
,进一步得到
,再由
,利用线面垂直的判定定理可得
面
,即可证得
平面
;
(2)取的中点
,连接
,以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题得,解得
. 进而求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角
的余弦值.
详解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)设BC中点为,连接
,
,又面
面
,且面
面
,
所以面
.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥
,设
,
可得
所以由题得
,解得
.
所以
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
设是平面
的法向量,则
,即
,
可取.
则,
所以二面角的余弦值为
.
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