Question

【题目】设函数，若在区间上无零点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．

f′（x）=,

令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．

（i）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（ii）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．

①当0＜a≤时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．

②当a＞时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．

当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

①当0≤a≤时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．

②当 ＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0．

③当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．

又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，x趋向于正无穷时函数值大于0，不符合题意，舍去；

④当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．

因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，

当x＞1﹣时，

ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．

综上所述，a的取值范围为[0，1]．

故答案为：A．