Question

20．对于整数p₁，p₂，…，p_n（n∈N^*），我们称$\frac{n}{\frac{1}{{p}_{1}}+\frac{1}{{p}_{2}}+…+\frac{1}{{p}_{n}}}$为他们的调和平均数，已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n（n+1）}{2n+1}$，且数列的第n项a_n是数列{b_n}中的前n项的调和平均数．
（1）试求数列{b_n}的通项公式；
（2）计算$\underset{lim}{x-∞}\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$；
（3）求出数列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$}中数值最大的项和数值最小的项．

Answer 1

分析 （1）运用新定义，由数列的通项和前n项和的关系，即可得到所求通项；
（2）运用数列极限的运算，及$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{n}^{2}}$=0，计算即可得到所求；
（3）将数列$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$变形为$\frac{1}{4+\frac{1}{{n}^{2}+n}}$，令t=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$≤$\frac{1}{2}$，即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{n（n+1）}{2n+1}$=$\frac{n}{\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}}$，
即有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2n+1}{n+1}$，
当n=1时，b₁=$\frac{2}{3}$，
当n＞1时，$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{n}$，
两式相减可得，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2n+1}{n+1}$-$\frac{2n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
即有b_n=n（n+1），
则b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}，n=1}\\{n（n+1），n＞1}\end{array}\right.$；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n（n+1）}{（2n+1）^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}$
=$\frac{1+0}{4+0+0}$=$\frac{1}{4}$；
（3）$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4+\frac{1}{{n}^{2}+n}}$，
令t=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$≤$\frac{1}{2}$，
则0＜t≤$\frac{1}{2}$，即有$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$∈[$\frac{2}{9}$，$\frac{1}{4}$）．
则数列{$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{b}_{n}}$}中最小的项为$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{2}{9}$，
无最大项．

点评 本题考查数列的通项的求法，以及数列的极限的求法和数列中的最大项或最小项，考查运算能力，属于中档题．