题目内容
【题目】如图,在直角梯形ABCD中,,,,,E为AB的中点.将沿CE折起,使点B到达点F的位置,且平面CEF与平面ADCE所成的二面角为.
(1)求证:平面平面AEF;
(2)求直线DF与平面CEF所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明,,可得线面垂直,再利用线面垂直判定定理可证面面垂直;
(2)以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得和平面的一个法向量,再代入向量的夹角公式,即可得答案.
(1)证明:由题设得四边形为正方形,
则,,
又,平面,平面,
∴平面.
又平面,
∴平面平面.
(2)由,,
得是二面角的平面角,即,
又,
∴为正三角形.
以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,
从而,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,
取,则,
设直线与平面CEF所成的角为,
则,
所以直线与平面CEF所成角的正弦值为.
【题目】“工资条里显红利,个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响,我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.某从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利,绘制了他在26岁-35岁(2009年-2018年)之间各年的月平均收入(单位:千元)的散点图:(注:年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁)
(1)由散点图知,可用回归模型拟合与的关系,试根据有关数据建立关于的回归方程;
(2)如果该从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月,试利用(1)的结果,将月平均收入视为月收入,根据新旧个税政策,估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税.
附注:①参考数据:,,,,
,,,其中:取,.
②参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
③新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点3500元) | 新个税税率表(个税起征点5000元) | |||
缴税 级数 | 每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点 | 税率 | 每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除 | 税率 |
1 | 不超过1500元的都分 | 3 | 不超过3000元的都分 | 3 |
2 | 超过1500元至4500元的部分 | 10 | 超过3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超过4500元至9000元的部分 | 20 | 超过12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超过9000元至35000元的部分 | 25 | 超过25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 |