题目内容
【题目】在直角坐标系中,已知抛物线
:
,抛物线
的准线与
交于点
.
(1)过作曲线
的切线,设切点为
,
,证明:以
为直径的圆经过点
;
(2)过点作互相垂直的两条直线
、
,
与曲线
交于
、
两点,
与曲线
交于
、
两点,线段
,
的中点分别为
、
,试讨论直线
是否过定点?若过,求出定点的坐标;若不过,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)过定点;坐标为.
【解析】试题分析:(1)根据题意可将切线设为,联立直线与抛物线的方程结合
可得
的值,根据斜率继而可得
,
的倾斜角分别为
和
,则
,从而命题得证;(2)设出直线方程
,联立直线与抛物线的方程,运用韦达定理可得
,
坐标分别为
,
,写出直线
的方程即可得到最后结果.
试题解析:(1)依题意有;由切线斜率必存在且不等于零,设切线方程为
;
;
,所以切线方程为
和
;
所以直线,
的倾斜角分别为
和
,则
;
所以,点在以
为直径的圆上;
(2)易知直线,
的斜率存在且不为0,设直线
的斜率为
,
,
,
则直线:
,
,
由得
,
,
∴,
,∴
.
同理得.
当或
时,直线
的方程为
;
当且
时,直线
的斜率为
,
∴直线的方程为
,即
,
∴直线过定点,其坐标为
.
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