题目内容
【题目】若无穷数列满足:对任意两个正整数
,
与
至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则
为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列
从第
项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足
,且存在
使得
,
,求p的所有可能值.
【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ) .
【解析】
(I)利用等差数列的定义,证得等差数列为“和谐数列”.
(II)利用等差数列的定义,通过证明,证得数列
从第
项起为等差数列.
(III)对依次进行验证,当
时,结合(II)的结论和等差数列前
项和公式进行列式,求得
的可能取值.
(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,
所以对任意两个正整数,有
,
所以 .
所以 数列为“和谐数列”.
(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,
所以 当,
时,只能
成立,
不成立.
所以 ,即
.
当,
时,也只能
成立,
不成立.
所以 ,
,
,
即,
所以.
令,则数列
满足
.
所以,数列从第3项起为等差数列.
(Ⅲ)解:①若,则
,与
矛盾,不合题意.
②若,则
,
,但
,不合题意
③若,则
,
,由
,得
,
此时数列为:
,符合题意.
④若,设
,
则.
所以,
即 .
因为,所以
.
所以不合题意.
所以.
因为p为整数,所以为整数,所以
.
综上所述,p的所有可能值为.
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