Question

【题目】已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率
（1）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，求方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于 的椭圆的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为直线x= ，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且 ≤1，即2b≤a．若a=1，则b=﹣1；

若a=2，则b=﹣1或1；

若a=3，则b=﹣1或1．

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5．

而满足条件的数对（a，b）共有3×5=15个

∴所求事件的概率为 =

（2）解：方程 + =1表示焦点在x轴上且离心率小于 的椭圆，故

化简得

又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，

阴影部分的面积为 ，故所求的概率P=

【解析】(1)首先根据二次函数的解析式求得其对称轴再根据函数在指定区间上的增减性得出a、b之间的大小关系然后结合a、b分别是集合P和Q中的一个数据列举出满足a、b大小关系的情况再求出a、b取值的所有基本事件的个数为15，最后根据概率公式计算即可得解。（2）根据题意如图所示作出不等式组的平面区域由已知可得概率等于阴影面积比上矩形的面积即可。
【考点精析】关于本题考查的几何概型，需要了解几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等才能得出正确答案．