题目内容
已知椭圆的焦点为,,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过的直线与椭圆交于、两点,问在椭圆上是否存在一点,使四边形为平行四边形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过的直线与椭圆交于、两点,问在椭圆上是否存在一点,使四边形为平行四边形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)椭圆的方程为;(Ⅱ)存在符合条件的直线的方程为:.
试题分析:(Ⅰ)已知椭圆的焦点为,,且经过点,求椭圆的方程,显然,而正好是过焦点,且垂直于轴的弦的端点,故,再由,解出即可;(Ⅱ)设过的直线与椭圆交于、两点,问在椭圆上是否存在一点,使四边形为平行四边形,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由,此题是探索性命题,一般都是假设存在符合条件的点,根据题意,若能求出直线的方程,就存在,若不能求出直线的方程,就不存在,此题设直线的方程为,代入方程得的中点为 , 由于四边形为平行四边形,与的中点重合,得点坐标,代入椭圆方程求出的值,从而得存在符合条件的直线的方程为:.
试题解析:(Ⅰ) 3分
, 5分
椭圆的方程为 7分
(Ⅱ)假设存在符合条件的点,
设直线的方程为 8分
由得:,,
,
的中点为 10分
四边形为平行四边形,与的中点重合,即:
13分
把点坐标代入椭圆的方程得:
解得 14分
存在符合条件的直线的方程为: 15分
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