题目内容

已知圆,若焦点在轴上的椭圆 过点,且其长轴长等于圆的直径.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与圆交于两点,交椭圆于另一点,设直线的斜率为,求弦长;
(3)求面积的最大值.
(1);(2);(3)

试题分析:(1)由题意可知,又因为椭圆过点,代入方程可求得,从而得到标准方程;(2)可设直线的方程为,根据点到直线的距离公式求出弦心距,再根据勾股定理可算出半弦长,从而得到弦长;(3)因为,故直线的方程为,和椭圆的方程联立方程组,从而求出的长,则三角形的面积为,利用基本不等式求出最大值.
试题解析:
(1)由题意得,,所以椭圆C的方程为
(2)设,由题意知直线的斜率存在,不妨设其为,则直线的方程为
又圆O:,故点O到直线的距离
所以
(3)因为,故直线的方程为
消去,整理得
,所以
的面积为S,则
所以
当且仅当时取等号.
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