Question

【题目】已知函数.

(1) 时，证明： ；

(2)当时，直线和曲线切于点，求实数的值；

(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件构造函数，运用导数知识求出其最小值，从而使得不等式获证；（2）先设切点坐标为， ，然后建立方程组，求得.进而得到；（3）依据题设条件将不等式转化为恒成立， 进而分离参数，构造函数，将问题转化为求函数的最小值来求解：

解：(1)记，

∵，

令得，

当， ， 递减；当， ， 递增，

∴，

，

得.

(2)切点为， ，则

，∴，

∵，∴由(1)得.

所以.

(3)由题意可得恒成立，

所以，

下求的最小值，

，

由(1) 知且.

所以， 递减，

∵，∴.

所以.