题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若函数为定义域上的单调函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数存在两个极值点
,
,且
,证明:
.
【答案】(1).(2)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先求得函数的定义域与导函数,然后结合判别式判断导函数的符号,得到函数的单调性,从而求得的取值范围;(Ⅱ)首先将问题转化为
有两个不等的实根
,
,由此得到
的范围,从而得到
,
的范围,然后根据
的表达式构造新函数,由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为
,
由题意,
.
①若,即
,则
恒成立,
则在
上为单调减函数;
②若,即
,方程
的两根为
,
,当
时,
,所以函数
单调递减,当
时,
,所以函数
单调递增,不符合题意.
综上,若函数为定义域上的单调函数,则实数
的取值范围为
.
(Ⅱ)因为函数有两个极值点,所以
在
上有两个不等的实根,
即在
有两个不等的实根
,
,
于是,
且满足
,
,
,
同理可得.
,
令,
.
,
,
∵,∴
,
又时,
,∴
,则
在
上单调递增,
所以,即
,得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】某种产品的以往各年的宣传费用支出(万元)与销售量
(万件)之间有如下对应数据
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
4 | 3 | 6 | 7 | 8 |
(1)试求回归直线方程;
(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为(元),若
与销售量
(万件)的函数关系是
,试估计宣传费用支出
为多少万元时,销售该产品的利润最大?(注:销售利润=销售额-生产成本-宣传费用)
(参考数据与公式: ,
,
)