Question

(本小题满分16分)从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．

设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列（即项数有无限项）．

（1）若，，成等比数列，求其公比．

（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．

（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．

Answer 1

【解】：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）

（2）设等比数列为，其公比，，（6分）

由题设．

假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，

即，得，（8分）

当时，，与假设矛盾，

故该数列不为的无穷等比子数列．（10分）

（3）①设的无穷等比子数列为，其公比（），得，

由题设，在等差数列中，，，

因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，

即，得，

由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，

可知必为正整数，又，故是大于1的正整数．（13分）

②再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列．

即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项．

在等比数列中，，

在等差数列中，，，

若为数列中的第项，则由，得，

整理得，

由，均为正整数，得也为正整数，

故无穷等比数列中的每一项均为数列中的项，得证．

综上，当且仅当是大于1的正整数时，数列存在无穷等比子数列．（16分）