题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若a>0,设是函数
图象上的任意两点
,记直线AB的斜率为k,求证:
.
【答案】(1)(i)当时,
的单增区间为
,无单减区间.
(ii)当时,
的单增区间为
,
,
单减区间为.
(iii)当时,
的单增区间为
,单减区间为
.
(2)见解析.
【解析】
试题(1)首先求出函数的导数
,注意到函数
的定义域是
;不等式
,故只需按
的正,负和零分别讨论,在讨论的过程中当
的情形注意再按两根的大小讨论即可求得函数
的单调区间.
(2)先求得,再将直线AB的斜率为
用
表示出来得到
,然后用比差法求得
注意到
,故欲证
,只须证明:
因为
,故即证:
,
令,构造函数
,再利用导数证明
在
上是增函数,从而可得
,进而得所证不等式成立.
试题解析:(1)解:1分
(i)当时,
恒成立,即
恒成立,
故函数的单增区间为
,无单减区间. 2分
(ii)当时,
,
解得:
∵,∴函数
的单增区间为
,
,
单减区间为. 4分
(iii)当时,由
解得:
.
∵,而此时
,∴函数
的单增区间为
,
单减区间为. 6分
综上所述:
(i)当时,
的单增区间为
,无单减区间.
(ii)当时,
的单增区间为
,
,
单减区间为.
(iii)当时,
的单增区间为
,单减区间为
. 7分
(2)证明:
由题,
则:
9分
注意到,故欲证
,只须证明:
. 10分
因为,故即证:
11分
令,
12分
则:故
在
上单调递增.
所以:13分
即:,即:
所以:
. 14分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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