题目内容
【题目】如图,底面为正方形的四棱锥中,平面,为棱上一动点,.
(1)当为中点时,求证:平面;
(2)当平面时,求的值;
(3)在(2)的条件下,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)2;(3)
【解析】
(1)连接AC,BD设其交点为O,连接OE,证明OE∥PA,即可证明
(2)建立空间直角坐标系,求得平面的法向量,由线面垂直求解
(1)连接AC,BD设其交点为O,连接OE,则为中点,故OE∥PA
又平面,OE平面,故平面;
(2)以O为原点,OA,OB分别为x,y轴,过O做的平行线为轴,建立如图所示空间坐标系,如图示:
设AB=2,则,B(0,,0),D(0,-,0),,
设,,
平面,所以,则,故;
(3)因为平面,所以AE是平面的一个法向量,
故取平面的一个法向量为,平面的法向量为
设二面角为θ,
则,由图知,二面角为钝角,故二面角的余弦值为
【题目】微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数.先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能,他随机选取了其中40名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
步数 性别 | ||||||
男 | 3 | 4 | 5 | 4 | 3 | 1 |
女 | 3 | 5 | 3 | 2 | 5 | 2 |
(1)以样本估计总体,视样本频率为概率,在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数不低于6000步的有名,求的分布列和数学期望;
(2)如果某人一天的走路步数不低于8000步,此人将被“微信运动”评定为“运动达人”,否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
运动达人 | 运动懒人 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:,其中
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |