Question

如果直线l：x+y-b=0与曲线C：y=

1-x2

有公共点，那么b的取值范围是______．

Answer 1

对于曲线C：y=

1-x2

，设x=cosα，则y=

1-cos2α

=sinα（0≤α≤π）
因此点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π
∵线l：x+y-b=0与曲线C有公共点
∴方程cosα+sinα-b=0，在区间[0，α]上有解
即b=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

）
∵α+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，可得sin（α+

π

4

）∈[-

2

2

，1]
∴b=

2

sin（α+

π

4

）∈[-1，

2

]
即直线l：x+y-b=0与曲线C：y=

1-x2

有公共点时，b的取值范围是[-1，

2

]
故答案为：[-1，

2

]