题目内容
【题目】如图，在等腰梯形
中，
，
，
，E，F分别为
，
边的中点.现将
沿着
折叠到
的位置，使得平面
平面
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）在等腰梯形
中，
，
，
，E，F分别为
、
边的中点，易证
为等边三角形，
，根据平面
平面
易证
平面
，再由
平面
，故平面
平面.
（2）取
的中点O，易证
平面，再证明
，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面
的法向量和平面
的法向量，再求这两个法向量夹角余弦值的绝对值，结合观察图形，可求二面角
的余弦值.
解：（1）证明：如图，连接
，
∵E为的中点，故
且
，
故四边形为平行四边形，
，
所以
为等边三角形. 同理可证为等边三角形，
所以
为等边三角形，
∵在等腰梯形中，，，
为等边三角形，F为的中点，
故
，即．
又∵平面
平面
，且平面平面，
故平面
. 又∵平面，
故平面平面.
（2）取的中点O，连接
，
，
∵
，∴
.
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
为等边三角形，故.
如图，以O为坐标原点，为x轴，
为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系．
，
，
，
，
.
设平面的法向量为
故
解得
．
设平面的法向量为
，
则
，
∵为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
智能训练练测考系列答案
【题目】生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
（1）完成下列
列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数
的分布列及数学期望.
附：
| 0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（其中
）.
【题目】2020年是我国垃圾分类逐步凸显效果关键的一年.在国家高度重视，重拳出击的前提下，高强度、高频率的宣传教育能有效缩短我国生活垃圾分类走入世界前列所需的时间，打好垃圾分类这场“持久战”，“全民战”.某市做了一项调查，在一所城市中学和一所县城中学随机各抽取15名学生，对垃圾分类知识进行问答，满分为100分，他们所得成绩如下：
城市中学学生成绩分别为：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85
县城中学学生成绩分别为：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72
（1）根据上述两组数据在图中完成两所中学学生成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两所中学学生成绩的平均分及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）
（2）记这30名学生成绩80分以上为良好，80分以下为一般，完善表格，并判断是否有99%的把握认为该城市中学和县城中学的学生在了解垃圾分类知识上有差异？（结果保留三位小数）
学生成绩 | 良好 | 一般 | 合计 |
城市中学学生 | |||
县城中学学生 | |||
合计 |
附：
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
