题目内容
【题目】函数,
.
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,
,
为曲线
上两点,且
,设直线
斜率为
,
,证明:
【答案】(1)的单调递减区间为
,单调递增区间为
(2)
(3)见证明
【解析】
(1)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)
恒成立,等价于
恒成立,设
,利用导数研究函数
的单调性,求出函数
的最大值,从而可得结果; (3)要证
即证
,设
,只需证明
,其中
,设
,利用导数证明
即可得结论.
(1)当时,函数
,
.
.
当时,
,当
时,
,
则函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)恒成立,即
恒成立,整理得:
恒成立,设
,则
,令
,得
,所以,在
上函数
单调递增,
在
上单调递减.
所以当时,函数取得最大值
,因此
.
(3),
又,所以
要证.
即证,因为
,
即证,
设,即证:
,
也就是要证:,其中
,
设,
则
,
所以在
上单调递增,因此
.即:
.
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