题目内容
【题目】偶函数满足
,当
时,
,不等式
在
上有且只有200个整数解,则实数
的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析:根据题意得到函数周期性,结合周期性将问题转化在一个周期
内来研究,然后在结合函数图象的对称性将问题转化在
内研究,最后结合函数
在
内整数解的个数及图象中的特殊点确定实数
的取值范围.
详解:由得函数
图象的对称轴为
,故
;
又,
∴,
∴函数的周期为
.
作出函数在一个周期上的图象(如图所示).
∵函数为偶函数,且不等式
在
上有且只有200个整数解,
∴不等式在上有且只有100个整数解.
∵函数在
内有25个周期,
∴函数在一个周期内有4个整数解,即
在
内有4个整数解.
①当时,由
得
或
,
由图象可得在一个周期内有7个整数解,不合题意.
②当时,由
得
或
,
显然,在
上无整数解,
∴在
上有4个整数解.
∵的图象在
上关于
对称,
∴在
上有2个整数解.
又,
∴,解得
,
故实数的取值范围是
.
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