题目内容
如图,已知圆交轴于、两点,在圆上运动(不与、重合),过作直线,垂直于交直线于点.
(1)求证:“如果直线过点,那么”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
(1)求证:“如果直线过点,那么”为真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
(1)证明见解析。
(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,
(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,
(1)设,则.当时,直线过点,,即,.当时,直线过点,直线的斜率,直线OS的斜率,其方程为,,即.
.故“如果直线过点,那么”为真命题.
(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,以下给出证明:设,则,,,又,.当时,直线的方程为,显然过点;当时,直线OS的斜率,直线的方程为,令,得,直线过定点.综上,直线恒过定点.
.故“如果直线过点,那么”为真命题.
(2)逆命题为:如果,那么直线过点.逆命题也为真命题,以下给出证明:设,则,,,又,.当时,直线的方程为,显然过点;当时,直线OS的斜率,直线的方程为,令,得,直线过定点.综上,直线恒过定点.
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