题目内容

给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数． 其中正确的命题的序号是
①②③
①②③
．
分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究，进而得到函数的图象的草图，结合图象分析得到答案．
解答：解：由题意x-{x}=x-m，f（x）=|x-{x}|=|x-m|，
m=0时，-
1
2
＜x≤
1
2
，f（x）=|x|，
m=1时，1-
1
2
＜x≤1+
1
2
，f（x）=|x-1|，
m=2时，2-
1
2
＜x≤2+
1
2
，f（x）=|x-2|，
…
画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③，
故答案为：①②③
点评：本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．
练习册系列答案
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给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
1
2
，
1
2
]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-
1
2
，
3
2
]上是增函数；
则其中真命题是
 
．
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
1
2
，
1
2
]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）在（-
1
2
，
3
2
]上是增函数；
④函数y=f（x）的最小正周期为1；
则其中真命题是
①④
①④
．
（2012•门头沟区一模）给出定义：若m-
1
2
≤x＜m+
1
2
（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，
1
2
]； ②函数f（x）是R上的增函数；
③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
其中正确的命题的个数是（　　）
（2011•昌平区二模）给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，最大值是
1
2
；②函数y=f（x）在[0，1]上是增函数；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象的对称中心是（0，0）．
其中正确命题的序号是
①③
①③
．
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（m∈Z），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m；在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数f（x）在区间(-
1
2
，
1
2
]上单调递增；④函数f（x）的图象关于直线x=k+
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2
（k∈Z）对称．则以上判断中正确结论的个数是（　　）

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