Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2\\;x＜-1或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2\\;-1≤x≤2}\end{array}\right.$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 f（x）为分段函数，每一段都是二次函数，从而在每一段里，对二次函数进行配方，从而求出每一段里f（x）的范围，然后这两个范围求并集便可得出f（x）的值域．

解答 解：①x＜-1，或x＞2时，f（x）=${x}^{2}+x+2=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$；
f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
∴f（x）＞f（-1）=2，或f（x）＞f（2）=8；
∴f（x）＞2；
②-1≤x≤2时，f（x）=${x}^{2}-x-2=（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$；
f（-1）=f（2）=0；
∴$-\frac{9}{4}≤f（x）≤0$；
∴f（x）的值域为：[-$\frac{9}{4}$，0]∪（2，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，配方求二次函数值域的方法，以及根据二次函数的单调性及取得顶点情况、端点值的取值情况求二次函数值域的方法．