Question

6．已知定义域为R的函数f（x）是以2为周期的周期函数，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²．
（1）求f（2011）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=f（x）-lgx，求函数g（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）由周期函数的特征可写出f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函数f（x）与y=lgx的图象，从而可判断函数g（x）的零点的个数为10．

解答 解：（1）∵函数f（x）是以2为周期的周期函数，
∴f（2011）=f（2010+1）=f（1）=（1-1）²=0；
（2）∵函数f（x）是以2为周期的周期函数，
又∵当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，
∴f（x）=（x-2n-1）²，x∈[2n，2n+2]，（n∈N）；
（3）作函数f（x）与y=lgx的图象如下，

函数f（x）与y=lgx的图象有10个交点，
故函数g（x）的零点的个数为10．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用，属于中档题．