Question

1．已知函数f（x）=sinx+cos（x-$\frac{π}{6}$），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a、c是方程t²-4t+2=0的两根，若角B是函数f（x）取最大值时的最小正角，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得它的值域．
（2）由题意可得B=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{3}$．再根据a+c=4，ac=2，利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sinx+cos（x-$\frac{π}{6}$）=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+x），
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）△ABC中，对于函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{6}$+x），当$\frac{π}{6}$+x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即B=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{3}$．
由a、c是方程t²-4t+2=0的两根，可得a+c=4，ac=2，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$=（a+c）²-3ac=16-6=10，
∴b=$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．