题目内容
【题目】如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P、Q分别在公路l、m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
【答案】(1) 3千米.(2) 千米
【解析】
(1)先建立以O为原点,直线l、m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.设直线方程为:,由直线与圆的位置关系可得,运算即可得解;
(2)设,,由PQ与圆A相切,得,再结合重要不等式即可得解.
解:(1)以O为原点,直线l、m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.
设PQ与圆A相切于点B,连结AB,以1千米为单位长度,
则圆A的方程为,
由题意可设直线PQ的方程为,即,,
∵PQ与圆A相切,∴,解得,
故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
(2)设,,
则直线PQ方程为,即.
因为PQ与圆A相切,所以,
化简得,即;
解法一:因此.
因为,,所以,于是.
又,解得,或
因为,所以,
,当且仅当时取等号,
所以PQ最小值为,此时.
答:当P、Q两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.
解法二:
化简得,即.
因为
因为,所以.
当且仅当,即时取到等号,
答:当P、Q两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.
解法三:设PQ与圆A相切于点B,连结AB、AP、AQ,设,
则,,且,∴,
又∵,∴,
∴
(当且仅当取等号)
答:当P、Q两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.
解法四:设PQ与相切于点B,设,,
则,,,
在中,由得:,
化简得:,∴,
解得:或(舍)
(当且仅当时等号成立)
∴当时,PQ有最小值;
答:当P、Q两点距离公路交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.