题目内容

【题目】如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点PQ分别在公路lm上,且要求PQ与圆形商城A也相切.

1)当PO4千米时,求OQ的长;

2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.

【答案】(1) 3千米.(2) 千米

【解析】

1)先建立以O为原点,直线lm分别为xy轴建立平面直角坐标系.设直线方程为:,由直线与圆的位置关系可得,运算即可得解;

2)设,由PQ与圆A相切,得,再结合重要不等式即可得解.

解:(1)以O为原点,直线lm分别为xy轴建立平面直角坐标系.

PQ与圆A相切于点B,连结AB,以1千米为单位长度,

则圆A的方程为

由题意可设直线PQ的方程为,即

PQ与圆A相切,∴,解得

故当PO4千米时,OQ的长为3千米.

2)设

则直线PQ方程为,即

因为PQ与圆A相切,所以

化简得,即

解法一:因此

因为,所以,于是

,解得,或

因为,所以

,当且仅当时取等号,

所以PQ最小值为,此时

答:当PQ两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.

解法二:

化简得,即

因为

因为,所以

当且仅当,即时取到等号,

答:当PQ两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.

解法三:设PQ与圆A相切于点B,连结ABAPAQ,设

,且,∴

又∵,∴

(当且仅当取等号)

答:当PQ两点距离两公路的交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.

解法四:设PQ相切于点B,设

中,由得:

化简得:,∴

解得:(舍)

(当且仅当时等号成立)

∴当时,PQ有最小值;

答:当PQ两点距离公路交点O都为(千米)时,新建公路PQ最短.

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