题目内容
已知函数(R),为其导函数,且时有极小值.
(1)求的单调递减区间;
(2)若,,当时,对于任意x,和的值至少有一个是正数,求实数m的取值范围;
(3)若不等式(为正整数)对任意正实数恒成立,求的最大值.
(1);(2);(3)6.
解析试题分析:(1)首先要求得的解析式,其中有两个参数,已知条件告诉我们以及,由此我们把这两个等式表示出来就可解得,然后解不等式即可得递减区间;(2)由(1)可得,,由于,又,当时,,因此此时已符合题意,当时,也符合题意,而当时,,因此我们只要求此时,是二次函数,图象是开口方向向上的抛物线,故可采用分类讨论方法求得的范围,使;(3)不等式为,即,设,由恒成立,只要的最小值大于0即可,下面就是求的最小值,同样利用导函数可求得,于是只要,变形为,作为的函数,可证明它在上是减函数,又,故可得的最大值为6.
(1)由,因为函数在时有极小值,
所以,从而得, 2分
所求的,所以,
由解得,
所以的单调递减区间为, 4分
(2)由,故,
当m>0时,若x>0,则>0,满足条件; 5分
若x=0,则>0,满足条件; 6分
若x<0,
①如果对称轴≥0,即0<m≤4时,的开口向上,
故在上单调递减,又,所以当x<0时,>0 8分
②如果对称轴<0,即4<m时,
解得2<m<8,故4<m <8时,>0;
所以m的取值范围为(0,8); 10分
(3)因为,所以
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