题目内容
已知函数.
(1)若当时,函数的最大值为,求的值;
(2)设(为函数的导函数),若函数在上是单调函数,求的取值范围.
(1);(2).
解析试题分析:(1)求出导数方程的根,并以是否在区间内进行分类讨论,确定函数单调性,从而确定函数在区间上的最大值,从而求出实数的值;(2)解法一是分两种情况讨论,一种是函数是增函数,二是函数是减函数,从而得到或在上恒成立,最终转化为或来处理,从而求出实数的取值范围;解法二是分两种情况讨论,一种是函数是增函数,二是函数是减函数,从而得到或在上恒成立,利用,对二次函数的首项系数与的符号进行分类讨论,从而求出实数的取值范围.
(1)由,
可得函数在上单调递增,在上单调递减,
当时,取最大值,
①当,即时,函数在上单调递减,
,解得;
②当,即时,,
解得,与矛盾,不合舍去;
③当,即时,函数在上单调递增,
,解得,与矛盾,不合舍去;
综上得;
(2)解法一:,
,
显然,对于,不可能恒成立,
函数在上不是单调递增函数,
若函数在上是单调递减函数,则对于恒成立,
,解得,
综上得若函数在上是单调函数,则;
解法二:,
,
令,(
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