题目内容
4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-2x，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（2x），…，fn（x）=f（2n-1x），若直线y=k（x+1）与曲线y=f4（x）在x∈[0，1]上恰有16个交点，则k的取值范围是（ ）| A． | 0＜k＜$\frac{7}{15}$ | B． | 0＜k＜$\frac{8}{15}$ | C． | 0＜k＜$\frac{15}{31}$ | D． | 0＜k＜$\frac{16}{31}$ |
分析 画出函数y=f4（x）在[0，1]的图象，注意分8个区间，画出直线y=k（x+1），通过直线绕着定点（-1，0）旋转观察恰有16个交点的情况，即可得到k的范围．
解答 
解：画出函数y=f4（x）在[0，1]的图象，
注意分8个区间：[0，$\frac{1}{8}$]，[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]，[$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$]，[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]，[$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]，
[$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]，[$\frac{7}{8}$，1]，
画出直线y=k（x+1），由图象可得，
当直线经过点（$\frac{15}{16}$，1），则（$\frac{15}{16}$+1）k=1，
解得k=$\frac{16}{31}$，
当0＜k＜$\frac{16}{31}$时，直线y=k（x+1）
与曲线y=f4（x）在x∈[0，1]上恰有16个交点．
故选：D．
点评 本题考查函数和方程的转化思想，同时考查函数的周期性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．
练习册系列答案
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| A． | （$\frac{3}{2}$，4） | B． | （$\frac{3}{2}$，+∞） | C． | （4，+∞） | D． | （0，$\frac{3}{2}$） |
13．已知函数f（x）=（a-1）x-ax3在[-1，1]的最小值为-1，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | [-1，4] | B． | [-$\frac{1}{2}$，4] | C． | [4，+∞） | D． | [-$\frac{1}{3}$，+∞） |