Question

已知圆，直线与圆相切，且交椭圆于两点，c是椭圆的半焦距，.
（1）求m的值；
（2）O为坐标原点，若，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题主要考查圆的标准方程、椭圆的标准方程、直线的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查转化能力和计算能力.第一问，利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离为半径，列出等式，求出；第二问，直线与椭圆相交，两方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之和，两根之积和向量的数量积联立，得到和，从而求出椭圆的方程；第三问，设直线的斜率，设出直线的方程，直线与椭圆联立，消参，利用两根之积，得到的值，则可以用表示坐标，利用点坐标，求出直线的方程，直线的方程与直线联立，求出点坐标，利用两点间距离公式，得到的表达式，利用均值定理求出最小值.
试题解析：（1）直线与圆相切,
所以                                 4分
(2) 将代入得
得:①
设则

因为           ②
由已知代人（2）
所以椭圆的方程为                                        8分
(Ⅲ)显然直线AS的斜率存在，设为且则
依题意，由得：
设则即
，又B（2，0）所以  BS：
由 
所以时：                                          12分