题目内容
(本小题满分14分)对于定义在区间D上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意,都有,且对任意∈D,当时,恒成立,则称函数为区间D上的“平底型”函数.
(Ⅰ)判断函数和是否为R上的“平底型”函数?并说明理由;
(Ⅱ)设是(Ⅰ)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式 对一切R恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数是区间上的“平底型”函数,求和的值.
【答案】
【解析】
【解】(1)对于函数,当时,.
当或时,恒成立,故是“平底型”函数
……………………………………………………………2分
对于函数,当时,;
当时,.
所以不存在闭区间,使当时,恒成立.
故不是“平底型”函数. ……………………………………4分
(Ⅱ)若对一切R恒成立,则.
因为,所以.又,则. ……6分
因为,则,解得.
故实数的范围是. …………………………………………………8分
(Ⅲ)因为函数是区间上的“平底型”函数,则
存在区间和常数,使得恒成立.
所以恒成立,即.解得或. ……10分
当时,.
当时,,当时,恒成立.
此时,是区间上的“平底型”函数. ………………12分
当时,.
当时,,当时,.
此时,不是区间上的“平底型”函数. ………………13分
综上分析,m=1,n=1为所求. ………………………………………14分
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