Question

设函数 定义在上，对于任意实数，恒有，且当时，
（1）求证：,且当时，
（2）求在上的单调性.
（3）设集合，，且，
求实数的取值范围.

Answer 1

（1）见解析；（2）在上是减函数. （3）。

解析试题分析：（1）证明：取，，由已知
则，             -----------2分 
当时，时，则
由得
                 ----------4分
（2）任取,且.
则               -----------5分

                       -----------6分
  即
在上是减函数.                       -----------8分
解(3)在集合中，  
在上是减函数        -------10分

,                   ---------12分
考点：抽象函数的性质及应用。
点评：不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。一般的：①求抽象函数的函数值常用赋值法。②证明抽象函数的单调性常用定义法。